Disequazioni di II grado fratte

 

Ricordiamo che una frazione algebrica

  • si annulla se e solo se il numeratore è nullo ()
  • non esiste se il denominatore è nullo ()

 

Per risolvere una disequazione fratta si studiano separatamente i segni del numeratore e del denominatore , poi si determina il segno della frazione mediante la tabella dei segni.

ESEMPIO

Risolvere

 

Trascuriamo momentaneamente il segno della disequazione.

Studiamo separatamente i segni del numeratore e del denominatore.

Per semplificare lo studio, numeratore e denominatore vengono imposti positivi.

N:

Il polinomio non ha radici reali perché ha discriminante negativo
( ).
Il coefficiente direttore ha lo stesso segno della disuguaglianza, quindi la disequazione ha soluzione .

 

 

D:

Il polinomio ha due radici reali e , perché

Il coefficiente direttore ha lo stesso segno della disuguaglianza, quindi la disequazione è verificata per i valori esterni: .

 

Costruiamo la tabella dei segni e facciamo il prodotto dei segni

Si traccia una riga per ogni fattore studiato della disequazione, in questo caso N e D.

In corrispondenza delle soluzioni di tali disequazioni "intermedie" viene tracciata una linea continua mentre nei restanti intervalli viene tracciata una linea tratteggiata.

In corrispondenza degli eventuali zeri del denominatore (valori che fanno perdere di significato l'intera disequazione) vengono disegnati dei "pallini" vuoti; in corrispondenza degli eventuali zeri del numeratore (valori che annullano la disequazione) vengono disegnati dei "pallini" pieni.

 

Individuiamo la soluzione

Cerchiamo gli intervalli concordi con il segno della disequazione iniziale assegnata.
In questo caso dobbiamo vedere dove la frazione è negativa, quindi la soluzione sarà cioè l'intervallo ]2;3[.

ESEMPIO

Risolvere

 

Trascuriamo momentaneamente il segno della disequazione.

Studiamo separatamente i segni del numeratore e del denominatore.

Per semplificare lo studio, numeratore e denominatore vengono imposti positivi.

N:

Il polinomio ha due radici reali e , perché


Il coefficiente direttore ha lo stesso segno della disuguaglianza, quindi la disequazione è verificata per i valori esterni: .

D:

Il polinomio ha due radici reali e , perché

 

Il coefficiente direttore ha lo stesso segno della disuguaglianza, quindi la disequazione è verificata per i valori esterni: .

Costruiamo la tabella dei segni e facciamo il prodotto dei segni

Si traccia una riga per ogni fattore studiato della disequazione, in questo caso N e D.

In corrispondenza delle soluzioni di tali disequazioni "intermedie" viene tracciata una linea continua mentre nei restanti intervalli viene tracciata una linea tratteggiata.

In corrispondenza degli eventuali zeri del denominatore (valori che fanno perdere di significato l'intera disequazione) vengono disegnati dei "pallini" vuoti; in corrispondenza degli eventuali zeri del numeratore (valori che annullano la disequazione) vengono disegnati dei "pallini" pieni.

 

Individuiamo la soluzione

Cerchiamo gli intervalli concordi con il segno della disequazione iniziale assegnata.
In questo caso dobbiamo vedere dove la frazione è positiva. Notare che il punto -2, che è zero anche del denominatore, non può essere soluzione.

La soluzione è pertanto: , oppure, scritta come unione di intervalli,

S=.